圆周率怎么算？
计算圆周率π的方法多种多样，从古代的几何逼近到现代的无穷级数和概率方法，以下是几种经典且代表性的方法：
1. 几何逼近法（阿基米德方法）
原理：通过增加正多边形的边数逼近圆的周长。
步骤：
- 从正六边形开始，内接于圆。设圆的半径为1，周长为2π。
- 正六边形每边长=1，周长为6，估算π≈3。
- 逐步倍增边数，计算内接和外切正多边形的周长，取平均值提高精度。
- 例如，正12边形时，内接周长≈6.211，外切≈6.430，π估算值≈3.14。
特点：直观但计算繁琐，边数越多精度越高。
2. 无穷级数法
莱布尼茨级数（1674年）
[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots ]
步骤：逐项相加，前1000项可精确到小数点后两位。
缺点：收敛极慢，需数百万项才达实用精度。
马青公式（1706年）
[ \pi = 16 \arctan\left(\frac{1}{5}\right) - 4 \arctan\left(\frac{1}{239}\right) ]
其中，(\arctan(x))可用泰勒展开：
[ \arctan(x) = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots ]
优点：收敛快，曾是计算机时代初期的主要算法。
3. 蒙特卡洛方法（概率模拟）
原理：利用随机采样估算面积比例。
步骤：
- 在边长为2的正方形内画半径为1的圆。
- 随机撒点，计算落在圆内的概率：(P = \frac{\text{圆内点数}}{\text{总点数}} = \frac{\pi}{4})。
- 估算公式：(\pi \approx 4P)。
特点：直观有趣，但效率低，需百万次投点才得3位精度。
4. 现代高效算法
Chudnovsky算法（1987年）
每项可提供约14位小数，公式复杂但收敛极快：
[ \frac{1}{\pi} = 12 \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (6k)! (545140134k + 13591409)}{(3k)! (k!)^3 (640320^{3})^{k + 1/2}} ]
应用：目前计算π万亿位纪录的核心算法。
5. 数值积分法
例如，用积分公式：
[ \pi = \int_{-1}^{1} \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}} , dx ]
通过辛普森法则或高斯积分等数值方法近似计算。
总结与比较
| 方法 | 优点 | 缺点 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 几何逼近 | 直观易懂 | 计算量大，精度低 | 历史教学 |
| 莱布尼茨级数 | 公式简单 | 收敛极慢 | 理论演示 |
| 马青公式 | 收敛较快 | 公式复杂 | 早期计算机计算 |
| 蒙特卡洛 | 趣味性强 | 效率低，精度差 | 概率教学演示 |
| Chudnovsky算法 | 收敛极快，高效 | 数学复杂度高 | 现代超算破纪录计算 |
为什么计算π？
- 数学意义：验证数论猜想和算法效率。
- 技术挑战：测试计算机性能与存储能力。
- 实际应用：科学计算中通常只需几十位（如NASA用15位即可精确至原子级）。
π的计算历程体现了人类智慧的积累，从手工计算到超级计算机，不断突破精度极限。选择方法时，需权衡效率、复杂度与需求精度。
