如何计算样本标准偏差？
标准偏差（Standard Deviation）是衡量数据离散程度的重要指标，反映数据点与平均值之间的偏离程度。以下是计算步骤及示例：
一、计算公式
总体标准偏差（σ，数据为整个总体）：
[
\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2}
]
- ( N )：总体数据个数
- ( \mu )：总体平均值
- ( x_i )：每个数据点
样本标准偏差（s，数据为总体中的样本）：
[
s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}
]
- ( n )：样本数据个数
- ( \bar{x} )：样本平均值
- 分母用 ( n-1 ) 是为了无偏估计（修正样本方差）。
二、计算步骤（以样本标准偏差为例）
- 计算平均值：
[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
]
- 求每个数据与平均值的差：
( x_i - \bar{x} )
- 平方每个差值：
( (x_i - \bar{x})^2 )
- 求和所有平方差：
( \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 )
- 计算方差：
[
\text{方差} = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}
]
- 开平方得到标准偏差：
[
s = \sqrt{\text{方差}}
]
三、示例（计算样本标准偏差）
数据：5个样本值 [2, 4, 6, 8, 10]
- 平均值：
[
\bar{x} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6
]
- 每个数据与平均值的差：
[
-4, -2, 0, +2, +4
]
- 平方差：
[
16, 4, 0, 4, 16
]
- 平方和：
[
16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
]
- 方差：
[
\frac{40}{5-1} = 10
]
- 标准偏差：
[
s = \sqrt{10} \approx 3.16
]
四、关键点
- 区分总体与样本：分母用 ( N ) 还是 ( n-1 )。
- 单位一致性：标准偏差的单位与原数据一致。
- 应用场景：常用于金融、实验数据分析、质量控制等领域。
希望这个清晰的步骤和示例能帮助你掌握标准偏差的计算！
